题目内容
【题目】已知函数.
(1)判断函数的奇偶性;
(2)判断并证明)在
)上的单调性;
(3)若对任意
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)为奇函数;(2)证明见解析;(3)
.
【解析】试题分析:
本题考查函数奇偶性的判断和单调性的证明,以及根据恒成立问题求参数取值范围。(1)根据奇偶性的判断方法证明。(2)根据单调性的判断方法证明。(3)根据函数的单调性将函数不等式转化为一般不等式,通过分离参数的方法转化为求具体函数的最值问题处理。
试题解析:
(1)定义域R关于原点对称,
∵,
为奇函数.
(2)证明:设R,且
,
,
∵函数 在
上为增函数,
,故
,
.
∴函数在
上是增函数 .
(3)
,
又为奇函数,
,
∵在
上是增函数,
∴对任意
恒成立,
∴对任意
恒成立,
设,则
,
∵在
上为增函数,
∴当时,函数
取得最小值,且
。
∴。
故实数的取值范围为
。
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