题目内容
【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ 
（a＞0）
（1）若函数f（x）在x=2处的切线与x轴平行，求实数a的值；
（2）讨论函数f（x）在区间[1，2]上的单调性；
（3）证明： 
＞e．
【答案】
（1）解：∵ 
，（x＞0）
∵函数f（x）在x=2处的切线与x轴平行
∴f′（2）= 
，解得a= 
（2）解：∵ = 
，（x＞0，a＞0）
令h（x）=ax2+（2a﹣2）x+a，（a＞0），△=4﹣8a
①）当△=4﹣8a≤0，即a 
时，f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，此时函数f（x）在区间[1，2]上单调递增；
②当△=4﹣8a＞0，即0＜a 
时，抛物线y=ax2+（2a﹣2）x+a的图象如下，与横轴交点横坐标为x1= 
，x2= 
h（1）=4a﹣2＜0，h（2）=9a﹣4
当h（2）=9a﹣4≤0，即0 
时，h（x）≤0在（1，2）上恒成立，∴f′（x）≤0在（1，2）上恒成立，此时函数f（x）在区间[1，2]上单调递减
当h（2）=9a﹣4＜0，即 
时，h（x）≤0在（1，x2）上恒成立，h（x）≥0在（x2，2）上恒成立，此时函数f（x）在区间[1， ]上单调递减
，在（ ，2）上单调递增
（3）证明：由（2）可知，当a=0.5时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增；即lnx 
在区间[1，2]上恒成立．
令x=1+ 
，（n∈N+），则有ln（1+ ）＞ 
（n+0.5）ln 
＞1ln（ ）n+0.5＞1 
，
令n=2017，可得 
＞e
【解析】（1） 
，（x＞0）由f′（2）= 
，解得a（2） 
= 
，（x＞0，a＞0），令h（x）=ax2+（2a﹣2）x+a，（a＞0），△=4﹣8a，分①）当△=4﹣8a≤0，即a 
时，②当△=4﹣8a＞0，即0＜a 
讨论；（3）由（2）可知，当a=0.5时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增；即lnx 
在区间[1，2]上恒成立，令x=1+ 
，（n∈N+），则有ln（1+ ）＞ 
（n+0.5）ln 
＞1ln（ ）n+0.5＞1 
，令n=2017，可得 
＞e．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
内，(1)如果
，那么函数
在这个区间单调递增；(2)如果
，那么函数
在这个区间单调递减．
