题目内容

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DA⊥AB，AD=3，AB=4，BC=
3
，点E在线段AB的延长线上．若曲线段DE（含两端点）为某曲线L上的一部分，且曲线L上任一点到A、B两点的距离之和都相等．
（1）建立恰当的直角坐标系，求曲线L的方程；
（2）根据曲线L的方程写出曲线段DE（含两端点）的方程；
（3）若点M为曲线段DE（含两端点）上的任一点，试求|MC|+|MA|的最小值，并求出取得最小值时点M的坐标．
解（1）如图，以AB所在的直线为x轴，其垂直平分线为y轴，建立所示的直角坐标系，
则A(-2，0)，B(2，0)，C(2，
3
)，D(-2，3)，|DA|=3，|DB|=5．
设动点M（x，y）为曲线L上的任一点，
则|MA|+|MB|=|DA|+|DB|=8，
即
(x+2)2+y2
+
(x-2)2+y2
=8
整理得
x2
16
+
y2
12
=1，为所求曲线L的方程
（2）由题意知xD＜x＜xE，y≥0，
而xD=xA=-2，xE=4
则所求曲线段DE的方程为
x2
16
+
y2
12
=1(-2≤x≤4，y≥0)
（3）由椭圆的定义及点M为曲线段DE（含两端点）上的任一点可知|MA|+|MB|=2a=8，即|MA|=8-|MB|，
则|MC|+|MA|=8+|MC|-|MB|≥8-|BC|=8-2
3
，
当且仅当点M位于线段BC的交点处时等号成立，
由BC⊥AB知此时点M的横坐标为2，则其纵坐标为3，
即当点M的坐标为（2，3）时|MC|+|MA|有最小值8-2
3
．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知椭圆C：x2+
y2
a2
=1(a＞1)的离心率为e，点F为其下焦点，点O为坐标原点，过F的直线l：y=mx-c（其中c=
a2-1
）与椭圆C相交于P，Q两点，且满足：
OP
•
OQ
=
a2(c2-m2)-1
2-c2
．
（Ⅰ）试用a表示m2；
（Ⅱ）求e的最大值；
（Ⅲ）若e∈(
1
3
，
1
2
)，求m的取值范围．
已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x-2于M、N两点，求|MN|的最小值．
已知O为坐标原点，F是抛物线E：y2=4x的焦点．
（Ⅰ）过F作直线l交抛物线E于P，Q两点，求
OP
•
OQ
的值；
（Ⅱ）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积最小值．
已知抛物线C的方程为x2=4y，直线y=2与抛物线C相交于M，N两点，点A，B在抛物线C上．
（Ⅰ）若∠BMN=∠AMN，求证：直线AB的斜率为
2
；
（Ⅱ）若直线AB的斜率为
2
，求证点N到直线MA，MB的距离相等．
已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线l交曲线C于A，B两点，线段AB的中点为D（2，-1），求直线l的一般式方程．
如图，椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e=
5
5
，过F1的直线交椭圆于M、N两点，且△MNF2周长为4
5
．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知过椭圆中心，且斜率为k（k≠0）的直线与椭圆交于A、B两点，P是线段AB的垂直平分线与椭圆E的一个交点，若△APB的面积为
40
9
，求k的值．
过点P（1，1）作直线与双曲线x2-
y2
2
=1交于A、B两点，使点P为AB中点，则这样的直线（　　）
A．存在一条，且方程为2x-y-1=0
B．存在无数条
C．存在两条，方程为2x±（y+1）=0
D．不存在
已知双曲线C：x2-
y2
2
=1，过点P（-1，-2）的直线交C于A，B两点，且点P为线段AB的中点．
（1）求直线AB的方程；
（2）求弦长|AB|的值．

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