题目内容

过点P(1,1)作直线与双曲线x2-
y2
2
=1
交于A、B两点,使点P为AB中点,则这样的直线(  )
A.存在一条,且方程为2x-y-1=0
B.存在无数条
C.存在两条,方程为2x±(y+1)=0
D.不存在
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2,
则x12-
1
2
y12
=1,x22-
1
2
y22
=1,
两式相减得(x1-x2)(x1+x2)-
1
2
(y1-y2)(y1+y2)=0,
x1-x2=
1
2
(y1-y2)

即kAB=2,
故所求直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
联立
y=2x-1
x2-
1
2
y2=1
可得2x2-4x+3=0,但此方程没有实数解
故这样的直线不存在
故选D
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