题目内容
已知抛物线C的方程为x2=4y,直线y=2与抛物线C相交于M,N两点,点A,B在抛物线C上.
(Ⅰ)若∠BMN=∠AMN,求证:直线AB的斜率为
;
(Ⅱ)若直线AB的斜率为
,求证点N到直线MA,MB的距离相等.
(Ⅰ)若∠BMN=∠AMN,求证:直线AB的斜率为
2 |
(Ⅱ)若直线AB的斜率为
2 |
(Ⅰ)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AM的斜率为k,∵∠BMN=∠AMN,所以直线BM的斜率为-k,
可求得M(-2
,2),N(2
,2),则直线AM的方程为y=k(x+2
)-2,
代入x2=4y得x2-4kx-8
k-8=0,∵xAx1=-8
k-8∴x1=4k+2
,
同理x2=-4k+2
,kAB=
=
=
=
.(5分)
(Ⅱ)若直线AB的斜率为
,由(1)可得:x1=4kAM+2
,x2=4kBM+2
,
∴kAB=
=
=
=
=
,
∴kAM+kBM=0,
∴∠BMN=∠AMN,
故点N到直线MA,MB的距离相等.(10分)
可求得M(-2
2 |
2 |
2 |
代入x2=4y得x2-4kx-8
2 |
2 |
2 |
同理x2=-4k+2
2 |
y1-y2 |
x1-x2 |
| ||||||||
x1-x2 |
x1+x2 |
4 |
2 |
(Ⅱ)若直线AB的斜率为
2 |
2 |
2 |
∴kAB=
y1-y2 |
x1-x2 |
| ||||||||
x1-x2 |
x1+x2 |
4 |
4(kAM+kBM)+4
| ||
4 |
2 |
∴kAM+kBM=0,
∴∠BMN=∠AMN,
故点N到直线MA,MB的距离相等.(10分)
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