题目内容
【题目】平面直角坐标系中,椭圆
:
(
)的离心率是
,抛物线
:
的焦点
是
的一个顶点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是
上动点,且位于第一象限,
在点
处的切线
与
交于不同的两点
,
,线段
的中点为
,直线
与过
且垂直于
轴的直线交于点
.
(i)求证:点在定直线上;
(ii)直线与
轴交于点
,记
的面积为
,
的面积为
,求
的最大值及取得最大值时点
的坐标.
【答案】(1) (2)①见解析②
的最大值为
,此时点
的坐标为
【解析】试题分析:(I)运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标,以及椭圆的a,b,c的关系,解得a,b,进而得到椭圆的方程;
(Ⅱ)(i)设,运用导数求得切线的斜率和方程,代入椭圆方程,运用韦达定理,可得中点D的坐标,求得OD的方程,再令x=
,可得
.进而得到定直线;
(ii)由直线l的方程为,令x=0,可得G(0,
),运用三角形的面积公式,可得
,
,化简整理,再
(t≥1),整理可得t的二次方程,进而得到最大值及此时P的坐标.
试题解析:
(1)由题意知,可得:
.
因为抛物线的焦点为
,所以
,
所以椭圆C的方程为
(2)(Ⅰ)设,由
可得
,
所以直线的斜率为
,
因此直线的方程为
,即
.
设,联立方程
得,
由,得
且
,
因此,
将其代入得
,
因为,所以直线
方程为
.
联立方程,得点
的纵坐标为
,
即点在定直线
上
(Ⅱ)由(Ⅰ)知直线方程为
,
令得
,所以
,
又
,
所以,
,
所以,
令,则
,
当,即
时,
取得最大值
,此时
,满足
,
所以点的坐标为
,因此
的最大值为
,此时点
的坐标为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目