题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，
的顶点
，
，且
、
、
成等差数列.
（1）求的顶点
的轨迹方程；
（2）直线
与顶点的轨迹交于
两点，当线段
的中点
落在直线
上时，试问：线段的垂直平分线是否恒过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）
（2）恒过定点；定点
【解析】
（1）由正弦定理，结合椭圆定义，即可容易求得轨迹方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，由韦达定理求得中点
的坐标，根据其纵坐标为
，即可求得
的等量关系，再求出直线
垂直平分线的方程，再求直线恒过的定点即可.
（1）在
中，
，
根据正弦定理，可得
，且
，
由椭圆定义，可知顶点
的轨迹为中心在原点，
以
为焦点的椭圆（不包括与
轴交点）.
，
，
，
轨迹方程为.
（2）设
，
，
由
，得
，
，
，
，
点落在直线
上，
，
，
，
，
线段
的垂直平分线方程为
，即
，
线段的垂直平分线恒过定点.
【题目】2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光.某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如下表：
购票人数 | 1~50 | 51~100 | 100以上 |
门票价格 | 13元/人 | 11元/人 | 9元/人 |
两个旅游团队计划游览该景点.若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为（ ）
A.20B.30C.35D.40
【题目】某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用
表示活动推出的天数，
表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：
表1：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 6 | 11 | 21 | 34 | 66 | 101 | 196 |
根据以上数据，绘制了散点图.
（1）根据散点图判断，在推广期内，
与
（
均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）.
（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立关于的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.
（3）推广期结束后，为更好的服务乘客，车队随机调查了100人次的乘车支付方式，得到如下结果：
表2
支付方式 | 现金 | 乘车卡 | 扫码 |
人次 | 10 | 60 | 30 |
已知该线路公交车票价2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据调査结果发现：使用扫码支付的乘客中有5名乘客享受7折优惠，有10名乘客享受8折优惠，有15名乘客享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其他因素的条件下，按照上述收费标准，试估计该车队一辆车一年的总收入.
参考数据：
|
|
|
|
|
62.14 | 1.54 | 2535 | 50.12 | 3.47 |
其中
.
参考公式：
对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
.