Question

已知函数y=f（x）对任意的实数ab都有：f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，且x＞0时，f（x）＞1，
（1）求证：f（x）是R上的增函数；
（2）若f（4）=5，求f（2）的值，并解不等式f（3m²﹣m﹣2）＜3．

Answer 1

（1）见解析（2）不等式f（3m²﹣m﹣2）＜3的解集为：{m|﹣1＜m＜}

试题分析：（1）设x₁＜x₂，利用函数单调性的定义作差结合已知条件判断符号即可；
（2）利用f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）﹣1=5即可求得f（2）=3，再利用其单调递增的性质脱掉“f”，解关于m的不等式即可．
（1）证明：∵f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，且x＞0时，f（x）＞1，
设x₁＜x₂，则x₂﹣x₁＞0，f（x₂﹣x₁）＞1，
∴f（x₂）﹣f（x₁）=f[（x₂﹣x₁）+x₁]﹣f（x₁）=f（x₂﹣x₁）+f（x₁）﹣1﹣f（x₁）=f（x₂﹣x₁）﹣1＞1﹣1=0，
∴f（x）是R上的增函数；
（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）﹣1=5，
∴f（2）=3．
∴f（3m²﹣m﹣2）＜3=f（2），又f（x）是R上的增函数；
∴3m²﹣m﹣2＜2，
∴﹣1＜m＜
∴不等式f（3m²﹣m﹣2）＜3的解集为：{m|﹣1＜m＜}．
点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查抽象函数的单调性，f（x₂）=f[（x₂﹣x₁）+x₁]是解决的关键，属于中档题