Question

【题目】已知函数f（x）= ﹣mx（m∈R）．
（1）当m=0时，求函数f（x）的零点个数；
（2）当m≥0时，求证：函数f（x）有且只有一个极值点；
（3）当b＞a＞0时，总有 ＞1成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：m=0时，f（x）= ，（x＞0），f′（x）= ，

令f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）＜0，解得：x＞e，

∴f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，

∵f（x）max=f（e）= ＞0，f（ ）=﹣e＜0，

∴f（x）在（0，e）有且只有一个零点，

x＞e时，f（x）＞0恒成立，

∴f（x）在（e，+∞）无零点，

综上，m=0时，f（x）有且只有一个零点；

（2）证明：∵f（x）= ﹣mx（m≥0），

f′（x）= （x＞0），

令g（x）=1﹣lnx﹣mx2，g′（x）=﹣ ﹣2mx＜0，

∴g（x）在（0，+∞）递减，

∵g（ ）=1+ ﹣ ＞0，（∵em＞m），g（e）=﹣me2＜0，

∴x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0，

∴x∈（0，x0）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）在（0，x0）递增，

x∈（x0，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）在（0，x0）递减，

∴x=x0是f（x）的极大值点，

即m≥0时，函数f（x）有且只有一个极值点；

（3）解：∵b＞a＞0时，总有 ＞1成立，

即b＞a＞0时，总有f（b）﹣b＞f（a）﹣a成立，

也就是函数h（x）=f（x）﹣x在区间（0，+∞）递增，

由h（x）= ﹣（m+1）x（x＞0）得：h′（x）= ﹣（m+1）≥0在（0，+∞）恒成立，

即m≤ ﹣1在（0，+∞）恒成立，

设k（x）= ﹣1，则k′（x）= （x＞0），

∴令k′（x）＞0，解得：x＞ ，令k′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，

∴k（x）在（0， ）递减，在（ ，+∞）递增，

∴k（x）min=k（ ）=﹣ ﹣1，

故所求m的范围是（﹣，﹣ ﹣1）．

【解析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，从而得到函数的零点个数；（2）求出f（x）的导数得到g（x）=1﹣lnx﹣mx2 ， 求出g（x）的导数，根据函数的单调性证明函数的零点个数即可；（3）问题转化为函数h（x）=f（x）﹣x在区间（0，+∞）递增，由h（x）= ﹣（m+1）x（x＞0），求出h（x）的导数，根据函数的单调性得到m≤ ﹣1在（0，+∞）恒成立，从而求出m的范围．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．