Question

【题目】如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=AB=1，点M在线段EC上．

（Ⅰ）证明：平面BDM⊥平面ADEF；

（Ⅱ）判断点M的位置，使得三棱锥B﹣CDM的体积为 ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）点M在线段CE的三等分点且靠近C处.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由题意结合勾股定理可得AD⊥BD，由面面垂直的性质可得BD⊥ED，据此可得BD⊥平面ADEF，故平面BDM⊥平面ADEF；

（Ⅱ）在平面DMC内，过M作MN⊥DC，垂足为N，转换顶点，VB﹣CDM=VM﹣CDB，据此可得，利用相似三角形的性质可得，即点M在线段CE的三等分点且靠近C处．

试题解析：

（Ⅰ）∵DC=BC=1，DC⊥BC，

∴BD=，

∵AD=，AB=2，

∴AD2+BD2=AB2 ，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BD，

∵平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊥AD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，

∴ED⊥平面ABCD，

∴BD⊥ED，

∵AD∩DE=D，

∴BD⊥平面ADEF，

∵BD平面BDM，

∴平面BDM⊥平面ADEF；

（Ⅱ）如图，在平面DMC内，过M作MN⊥DC，垂足为N，则MN∥ED，

∵ED⊥平面ABCD，

∴MN⊥平面ABCD，

∵VB﹣CDM=VM﹣CDB=，

∴××1×1×MN=，

∴MN=，

∴=，

∴CM=CE，

∴点M在线段CE的三等分点且靠近C处．