Question

（本题12分）直线l:y=kx＋1与双曲线C:的右支交于不同的两点A,B
（Ⅰ）求实数k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）－2＜k＜
（Ⅱ）k＝－时，使得以线段AB为直径的圆经过的双曲线C的右焦点。

试题分析：（Ⅰ）由
据题意：    解得－2＜k＜
（Ⅱ）设A,B两点的坐标分别为（x₁,y₁），（x₂,y₂）
则由①式得：
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆过双曲线C的右焦点F（，0），则FAFB.
∴·＝0
即：（x₁－）（x₂－）＋y₁y₂＝0
（x₁－）（x₂－）＋（kx₁＋1）（kx₂＋1）＝0
（1＋k²）x₁ x₂＋（k－）（x₁＋ x₂）＋＝0
∴（1＋k²）＋（k－）·＋＝0
∴5k²＋2－6＝0
∴k＝－或k＝（－2，－）（舍去）
∴k＝－时，使得以线段AB为直径的圆经过的双曲线C的右焦点。
点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定理。存在性问题，往往从假设存在出发，运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备。