题目内容

椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是____________．

试题分析：设椭圆的右焦点为E．如图：

由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+（4a-AE）+（4a-BE）=8a+AB-AE-BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB-AE-BE≤0，当AB过点E时取等号；
∴AB+AF+BF=8a+AB-AE-BE≤8a；
即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；
此时△FAB的高为：EF=2a．
此时直线x=m=c=a；
把x=a代入椭圆
的方程得：y=±．
∴AB=3a．
所以：△FAB的面积等于：S△FAB=×3a×2a=．
点评：在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．解决本题的关键在于利用定义求出周长的表达式．
练习册系列答案
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（12分）如图所示，椭圆C： 的离心率，左焦点为右焦点为，短轴两个端点为．与轴不垂直的直线与椭圆C交于不同的两点、，记直线、的斜率分别为、，且．

（1）求椭圆 的方程；
（2）求证直线 与轴相交于定点，并求出定点坐标．
（3）当弦 的中点落在内（包括边界）时，求直线的斜率的取值。
设是椭圆上的点， 、是椭圆的两个焦点，则的值为
A． 10B． 8C．6D．4
（本题12分）直线l:y=kx＋1与双曲线C:的右支交于不同的两点A,B
（Ⅰ）求实数k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”
给出如下定义：若，则点与点的“非常距离”为，
若，则点与点的“非常距离”为．
已知是直线上的一个动点，点的坐标是（0，1），则点与点的“非常距离”的最小值是_________．
已知直线与抛物线相交于、两点，为抛物线的焦点，若，则的值为         。
曲线与直线有两个交点，则的取值范围为（   ）
A．B．
C．D．
已知当椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等比时称椭圆为“黄金椭圆”，请用类比的性质定义“黄金双曲线”，并求“黄金双曲线”的离心率为（      ）
A．B．C．D．
已知圆过椭圆的两焦点，与椭圆有且仅有两个与圆相切 ，与椭圆相交于两点记
（1）求椭圆的方程
（2）求的取值范围；
（3）求的面积S的取值范围.

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