题目内容
(2013•湖北)已知函数f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,0) | B.(0,![]() | C.(0,1) | D.(0,+∞) |
B
函数f(x)=x(lnx﹣ax),则f′(x)=lnx﹣ax+x(
﹣a)=lnx﹣2ax+1,
令f′(x)=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1,
函数f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,等价于f′(x)=lnx﹣2ax+1有两个零点,
等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点,
在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)
当a=
时,直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切,
由图可知,当0<a<
时,y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点.
则实数a的取值范围是(0,
).
故选B.


令f′(x)=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1,
函数f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,等价于f′(x)=lnx﹣2ax+1有两个零点,
等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点,
在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)
当a=

由图可知,当0<a<

则实数a的取值范围是(0,

故选B.


练习册系列答案
相关题目