题目内容
某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.

(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;
(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.

(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;
(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.
(1)当长为16.2米,宽为10米时总造价最低,总造价最低为38 880元
(2)当长为16米,宽为10
米时总造价最低,总造价最低为38 882元.
(2)当长为16米,宽为10

(1)设污水处理池的宽为x米,则长为
米.
则总造价f(x)=400×(2x+
)+248×2x+80×162=1 296x+
+12 960
=1 296(x+
)+12 960
≥1 296×2
+12 960=38 880(元),
当且仅当x=
(x>0),即x=10时取等号.
∴当长为16.2米,宽为10米时总造价最低,总造价最低为38 880元.
(2)由限制条件知
,∴10
≤x≤16,
设g(x)=x+
(10
≤x≤16),
g(x)在
上是增函数,
∴当x=10
时(此时
),
g(x)有最小值,即f(x)有最小值,
即为1 296×
+12 960=38 882元.
∴当长为16米,宽为10
米时总造价最低,总造价最低为38 882元.

则总造价f(x)=400×(2x+


=1 296(x+

≥1 296×2

当且仅当x=

∴当长为16.2米,宽为10米时总造价最低,总造价最低为38 880元.
(2)由限制条件知


设g(x)=x+


g(x)在

∴当x=10


g(x)有最小值,即f(x)有最小值,
即为1 296×

∴当长为16米,宽为10


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