题目内容
【题目】已知椭圆:
的一个焦点为
,离心率为
.
(1)求的标准方程;
(2)若动点为
外一点,且
到
的两条切线相互垂直,求
的轨迹
的方程;
(3)设的另一个焦点为
,自直线
:
上任意一点
引(2)所求轨迹
的一条切线,切点为
,求证:
.
【答案】(1)(2)
(3)证明见解析
【解析】
(1)根据离心率和焦点坐标可求得的值,进而得到椭圆的方程;
(2)设,切点分别为
,
,对点
的位置进行讨论,即切线
的斜率不存在和存在时;当
设切线方程为
代入椭圆的方程得到关于
的二次方程,利用直线互相垂直得到
的关系,从而得到点
的轨迹
的方程;
(3)设,将
,
都用
进行表示,即可得答案.
(1)设,
由题设,得,
,所以
,
,
所以的标准方程为
.
(2)设,切点分别为
,
,
当时,设切线方程为
,
联立方程,得,
消去,得
,①
关于的方程①的判别式
,
化简,得,②
关于的方程②的判别式
,
因为在椭圆
外,
所以,即
,所以
,
关于的方程②有两个实根
,
分别是切线
,
的斜率.
因为,所以
,即
,化简为
.
当时,可得
,满足
,
所以的轨迹方程为
.
(3)如图,,设
,
,
,
所以,即
.

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