Question

如图，在四面体ABOC中, , 且

（Ⅰ）设为为的中点，证明：在上存在一点，使，并计算的值；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值。

Answer 1

3,

 解法一：
（Ⅰ）在平面内作交于，　连接。
　　　又，　
　　　，
　　　。
　　　取为的中点，则。

在等腰　中，，

在中，，
在中，，


（Ⅱ）

连接，
由，知：.
又，
又由，。
是在平面内的射影。
在等腰中，为的中点，
根据三垂线定理，知：
为二面角的平面角
在等腰中，，
在中，，
中，。

解法二：

取为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，轴，建立空间直角坐标系 （如图所示）
则
为中点，
设 。


 即，。
所以存在点 使得 且。
（Ⅱ）记平面的法向量为,则由，，且，
得， 故可取
又平面的法向量为。

两面角的平面角是锐角，记为，则