题目内容
(本小题满分13分)
已知函数
的导数
.a,b为实数,
.
(1) 若
在区间
上的最小值、最大值分别为
、1,求a、b的值;
(2) 在 (1) 的条件下,求曲线在点P(2,1)处的切线方程;
(3) 设函数
,试判断函数
的极值点个数.
已知函数



(1) 若



(2) 在 (1) 的条件下,求曲线在点P(2,1)处的切线方程;
(3) 设函数


(1)
,
(2)
(3)2



(1) 由已知得,
,由
,得
,
.
∵
,
,
∴当
时,
,
递增;
当
时,
,
递减.
∴
在区间
上的最大值为
,∴
.
又
,
,∴
.
由题意得
,即
,得
.故
,
为所求.
(2) 由 (1) 得
,
,点
在曲线
上.
当切点为
时,切线
的斜率
,
∴
的方程为
,即
.
(3)
.
∴
.
二次函数
的判别式为
,令
,
得:
令
,得
∵
,
,
∴当
时,
,函数
为单调递增,极值点个数为0;
当
时,此时方程
有两个不相等的实数根,
根据极值点的定义,可知函数
有两个极值点.




∵


∴当



当



∴




又



由题意得





(2) 由 (1) 得




当切点为



∴



(3)

∴


二次函数



得:



∵


∴当



当


根据极值点的定义,可知函数


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