Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC= ，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1 ．

（1）求证：CD=C1D；
（2）求二面角A1﹣B1D﹣P的平面角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接B1A交BA1于O，

∵PB1∥平面BDA1，B1P面AB1P，面AB1P∩面BA1D=OD，

∴B1P∥OD，又O为B1A的中点，

∴D为AP中点，∴C1为A1P中点，

∴△ACD≌△PC1D，∴CD=C1D．

（2）解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中， ，

∴AB⊥AC，

以A1为坐标原点，以A1B1，A1C1A1A所在直线建立空间直角坐标系如图所示．

由（1）知C1为A1P中点，

∴A1（0，0，0），B1（1，0，0）， ，P（0，2，0），

∴ ， =（0，1， ），

设平面A1B1D的法向量

∵ 且 ，

∴ ，取z=2，得y=﹣1，∴

， ，

设平面PB1D的法向量 ，

则 ， ，

∴ ，取x=2，得y=1，2，

∴平面PB1D的法向量

设二面角A1﹣B1D﹣P平面角为θ，

则 ，

∴

【解析】（1）连接B1A交BA1于O，由已知条件推导出△ACD≌△PC1D，由此能够证明CD=C1D；（2）以A1为坐标原点，以A1B1 ， A1C1A1A所在直线建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角A1﹣B1D﹣P的正弦值．