Question

已知与圆相切于点,经过点的割线交圆于点,的平分线分别交于点.

(1)证明:；
(2)若,求的值.

Answer 1

(1)证明如下 (2)

试题分析：(1)∵ PA是切线,AB是弦,∴∠BAP=∠C,
又∵∠APD=∠CPE,∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,∵∠ADE=∠BAP+∠APD,
∠AED=∠C+∠CPE,∴∠ADE=∠AED. 
(2)由(1)知∠BAP=∠C,又∵∠APC=∠BPA, ∴△APC∽△BPA, ∴,      
∵ AC="AP," ∴∠APC=∠C=∠BAP,由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP="180°,"
∵ BC是圆O的直径,∴∠BAC="90°," ∴∠APC+∠C+∠BAP="180°-90°=90°,"
∴∠C=∠APC=∠BAP=×90°="30°." 在Rt△ABC中,=, ∴=.
点评：关于几何证明的题目，若出现圆及切线，一般要结合到弦切角定理。