题目内容

【题目】函数f(x)=lnx+ +ax(a∈R),g(x)=ex+
(1)讨论f(x)的极值点的个数;
(2)若对于x>0,总有f(x)≤g(x).(i)求实数a的取值范围;(ii)求证:对于x>0,不等式ex+x2﹣(e+1)x+ >2成立.

【答案】
(1)解:由题意得f'(x)=x+ +a=

当a2﹣4≤0,即﹣2≤a≤2时,f'(x)≥0恒成立,无极值点;

当a2﹣4>0,即a<﹣2或a>2时,

①a<﹣2时,设方程x2+ax+1=0两个不同实根为x1,x2,不妨设x1<x1,x2

则x1+x2=﹣a>0,x1x2=1>0,故0<x1<x2

∴x1,x2是函数的两个极值点.

②a>2时,设方程x2+ax+1=0两个不同实根为x1,x2

则x1+x2=﹣a<0,x1x2=1>0,故x1<0,x2<0,

故函数没有极值点.

综上,当a<﹣2时,函数有两个极值点;

当a≥﹣2时,函数没有极值点


(2)解:(i)f(x)≤g(x)等价于ex﹣lnx+x2≥ax,

由x>0,即a≤ 对于x>0恒成立,

设φ(x)= (x>0),

φ′(x)=

∵x>0,∴x∈(0,1)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减,

x∈(1,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,

∴φ(x)≥φ(1)=e+1,

∴a≤e+1.

(ii)( ii)由( i)知,当a=e+1时有f(x)≤g(x),

即:ex+ x2≥lnx+ x2+(e+1)x,

等价于ex+x2﹣(e+1)x≥lnx…①当且仅当x=1时取等号,

以下证明:lnx+ ≥2,

设θ(x)=lnx+ ,则θ′(x)= =

∴当x∈(0,e)时θ'(x)<0,θ(x)单调递减,

x∈(e,+∞)时θ'(x)>0,θ(x)单调递增,

∴θ(x)≥θ(e)=2,

∴lnx+ ≥2,②当且仅当x=e时取等号;

由于①②等号不同时成立,故有ex+x2﹣(e+1)x+ >2


【解析】(1)求f(x)的导数f′(x),根据x>0求出f'(x)的值域,讨论a的值得出f′(x)的正负情况,判断f(x)的单调性和极值点问题;(2)(i)f(x)≤g(x)等价于ex﹣lnx+x2≥ax,由x>0,利用分离常数法求出a的表达式,再构造函数求最值即可;(ii)由( i)结论,a=e+1时有f(x)≤g(x),得出不等式,再进行等价转化,证明转化的命题成立即可.
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题.

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