题目内容
【题目】函数f(x)=lnx+ +ax(a∈R),g(x)=ex+ .
(1)讨论f(x)的极值点的个数;
(2)若对于x>0,总有f(x)≤g(x).(i)求实数a的取值范围;(ii)求证:对于x>0,不等式ex+x2﹣(e+1)x+ >2成立.
【答案】
(1)解:由题意得f'(x)=x+ +a= ,
当a2﹣4≤0,即﹣2≤a≤2时,f'(x)≥0恒成立,无极值点;
当a2﹣4>0,即a<﹣2或a>2时,
①a<﹣2时,设方程x2+ax+1=0两个不同实根为x1,x2,不妨设x1<x1,x2,
则x1+x2=﹣a>0,x1x2=1>0,故0<x1<x2,
∴x1,x2是函数的两个极值点.
②a>2时,设方程x2+ax+1=0两个不同实根为x1,x2,
则x1+x2=﹣a<0,x1x2=1>0,故x1<0,x2<0,
故函数没有极值点.
综上,当a<﹣2时,函数有两个极值点;
当a≥﹣2时,函数没有极值点
(2)解:(i)f(x)≤g(x)等价于ex﹣lnx+x2≥ax,
由x>0,即a≤ 对于x>0恒成立,
设φ(x)= (x>0),
φ′(x)= ,
∵x>0,∴x∈(0,1)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减,
x∈(1,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,
∴φ(x)≥φ(1)=e+1,
∴a≤e+1.
(ii)( ii)由( i)知,当a=e+1时有f(x)≤g(x),
即:ex+ x2≥lnx+ x2+(e+1)x,
等价于ex+x2﹣(e+1)x≥lnx…①当且仅当x=1时取等号,
以下证明:lnx+ ≥2,
设θ(x)=lnx+ ,则θ′(x)= ﹣ = ,
∴当x∈(0,e)时θ'(x)<0,θ(x)单调递减,
x∈(e,+∞)时θ'(x)>0,θ(x)单调递增,
∴θ(x)≥θ(e)=2,
∴lnx+ ≥2,②当且仅当x=e时取等号;
由于①②等号不同时成立,故有ex+x2﹣(e+1)x+ >2
【解析】(1)求f(x)的导数f′(x),根据x>0求出f'(x)的值域,讨论a的值得出f′(x)的正负情况,判断f(x)的单调性和极值点问题;(2)(i)f(x)≤g(x)等价于ex﹣lnx+x2≥ax,由x>0,利用分离常数法求出a的表达式,再构造函数求最值即可;(ii)由( i)结论,a=e+1时有f(x)≤g(x),得出不等式,再进行等价转化,证明转化的命题成立即可.
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题.
【题目】某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300):
空气质量指数 | (0,50] | (50,100] | (100,150] | (150,200] | (200,250] | (250,300] |
空气质量等级 | 1级优 | 2级良 | 3级轻度污染 | 4级中度污染 | 5级重度污染 | 6级严重污染 |
该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本,绘制的频率分布直方图如图,把该直方图所得频率估计为概率.
(Ⅰ)请估算2017年(以365天计算)全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算);
(Ⅱ)该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场,若这三天中某天出现5级重度污染,需要净化空气费用10000元,出现6级严重污染,需要净化空气费用20000元,记这三天净化空气总费用为X元,求X的分布列及数学期望.
【题目】某商场为了解该商场某商品近5年日销售量(单位:件),随机抽取近5年50天的销售量,统计结果如下:
日销售量 | 100 | 150 |
天数 | 30 | 20 |
频率 |
若将上表中频率视为概率,且每天的销售量相互独立.则在这5年中:
(1)求5天中恰好有3天销售量为150件的概率(用分式表示);
(2)已知每件该商品的利润为20元,用X表示该商品某两天销售的利润和(单位: 元),求X的分布列和数学期望.