题目内容
【题目】如图,在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=1,AA1=t,建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz.
(1)若t=1,求异面直线AC1与A1B所成角的大小;
(2)若t=5,求直线AC1与平面A1BD所成角的正弦值;
(3)若二面角A1—BD—C的大小为120°,求实数t的值.
【答案】(1) .
(2) .
(3) .
【解析】分析:(1)先根据坐标表示向量,
,再利用向量数量积求向量夹角,即得异面直线
与
所成角,(2)先利用方程组解得平面
的一个法向量,利用向量数量积得向量夹角余弦值,再根据线面角与向量夹角互余关系得结果,(3)先利用方程组解得平面
以及平面
的一个法向量,利用向量数量积得法向量夹角余弦值,再根据二面角与向量夹角相等或互补关系得结果.
详解:(1)当时,
,,
,
,
,
则,
,
故,
所以异面直线与
所成角为
.
(2)当时,
,
,
,
,
,
则,
,
设平面的法向量
,
则由得,
不妨取,则
, 此时
,
设与平面
所成角为
,因为
,
则,
所以与平面
所成角的正弦值为
.
(3)由得,
,
,
设平面的法向量
,
则由得,
不妨取,则
, 此时
,
又平面的法向量
,
故,解得
,
由图形得二面角大于
,所以符合题意.
所以二面角的大小为
,
的值为
.
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