题目内容
【题目】已知函数
定义域为
，设
.
（1）试确定
的取值范围，使得函数
在
上为单调函数；
（2）求证：
；
（3）求证：对于任意的
，总存在
，满足
，并确定这样的
的个数.
【答案】（1）
；（2）详见解析；（3）详见解析.
【解析】
（1）∵
，
由
或
，由
，
∴
在
，
上递增，在
上递减，
又∵在
上为单调函数，则
；
（2）∵在，上递增，在上递减，∴在
处取得极小值
，
又∵
，而在
上的最小值为
，
从而当
时，
，即
；
（3）∵
，∴
，即为
，
令
，从而问题转化为证明方程
在
上有解，并讨论解的个数，
∵
，
，
∴①当
或
时
，∴
在
上有解，且只有一解，
②当
时，
且
，又∵
，
∴在上有解，且有两解，
③当
时，
或，∴在上有且只有一解，
当
时，
或
，
∴
在
上也只有一解，
综上所述，对任意的，总存在
，满足，
且当
或
时，有唯一的
符合题意.
【题目】某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了100位客户试用该产品，每人一台.试用一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让客户决定是否购买该试用产品（不购买则可以免费退货，购买则仅需付成本价）.经统计，决定退货的客户人数是总人数的一半，“对性能满意”的客户比“对性能不满意”的客户多10人，“对性能不满意”的客户中恰有
选择了退货.
（1）请完成下面的
列联表，并判断是否有
的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”.
对性能满意 | 对性能不满意 | 合计 | |
购买产品 | |||
不购买产品 | |||
合计 |
（2）企业为了改进产品性能，现从“对性能不满意”的客户中按是否购买产品进行分层抽样，随机抽取6位客户进行座谈.座谈后安排了抽奖环节，共有4张奖券，奖券上分别印有200元、400元、600元和800元字样，抽到奖券可获得相应奖金.6位客户有放回的进行抽取，每人随机抽取一张奖券，求6位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于500元的概率.
附：
，其中
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
