题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，点
是圆
：
上的动点，定点
，线段
的垂直平分线交
于
，记点的轨迹为
.
（Ⅰ）求轨迹的方程；
（Ⅱ）若动直线
：
与轨迹交于不同的两点
、
，点
在轨迹上，且四边形
为平行四边形.证明：四边形的面积为定值.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）见证明
【解析】
(Ⅰ)由题意利用图形的几何性质和椭圆的定义即可确定轨迹方程；
(Ⅱ)联立直线方程与(Ⅰ)中求得的轨迹方程，结合韦达定理和平行四边形的性质得到面积的表达式，进一步计算即可证得其面积为定值.
（Ⅰ）由题意：
，
∴根据椭圆的定义，点
的轨迹
是以
、
为焦点的椭圆，其中
，
.
∴
，
，
，
∴轨迹的方程为：；
（Ⅱ）证明：设
、
，
联立方程组
，得
，
，∴
，
，
，
∴
的中点
，∴
，
点
在椭圆上，∴
，
∴
，
∴
，
点
到直线
的距离
，
∴
.
∴四边形
的面积为定值
.
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