题目内容
【题目】已知数列满足(),().
(1)若,证明:是等比数列;
(2)若存在,使得,,成等差数列.
① 求数列的通项公式;
② 证明:.
【答案】(1)见解析;(2)①,②见解析
【解析】
(1)对两边同除以并整理得:,结合即可证得是等比数列,问题得证。
(2)①设,由(1)可得,结合,,成等差数列即可求得,问题得解。
②将转化成,令,且,即可再转化成,记(),利用导数即可求得,问题得证。
(1)由,得,得,即,
因为,所以,所以(),
所以是以为首项,2为公比的等比数列.
(2)① 设,由(1)知,, 所以,即,
所以.因为,,成等差数列,
则,所以,所以,
所以,即.
② 要证,
即证,即证.
设,则,且,
从而只需证,当时,. 设(),
则,所以在上单调递增,
所以,即,因为,所以,
所以,原不等式得证.
练习册系列答案
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【题目】某大学生参加社会实践活动,对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查,销售单价和销售量之间的一组数据如下表所示:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
销售单价(元) | 9 | 9.5 | 10 | 10.5 | 11 | 8 |
销售量(件) | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 | 14.2 |
(1)根据1至5月份的数据,先求出关于的回归直线方程;6月份的数据作为检验数据.若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过,则认为所得到的回归直线方程是理想的.试问所求得的回归直线方程是否理想?
(2)预计在今后的销售中,销售量与销售单价仍然服从(1)中的回归关系,如果该种机器配件的成本是元/件,那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润?(注:利润=销售收入-成本).
参考数据:,.
参考公式:对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,.