题目内容
【题目】一个圆经过点,且和直线
相切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)已知点,设不垂直于
轴的直线
与轨迹
交于不同的两点
,若
轴是
的角平分线,证明直线
过定点.
【答案】(1);(2)证明见解析
【解析】
(1)圆心到定点与到定直线
的距离相等,可知圆心的轨迹是以点
为焦点的抛物线,求出方程即可;
(2)易知直线斜率存在且不为零,可设直线
,设
,
,联立直线
与抛物线方程,可得关于
的一元二次方程,由
轴是
的角平分线,可得
,整理可求得
,再结合韦达定理
,从而可求得
的值,进而可求得直线
过定点.
(1)由题意,圆心到定点与到定直线
的距离相等,
根据抛物线的定义可知,圆心的轨迹是以点为焦点的抛物线,其方程为
.
(2)由题可知,直线与C有两个交点且不垂于于
轴,
所以直线斜率存在且不为零,设直线
,
,
,
联立,可得
,
则,且
,
,
又,
,
轴是
的角平分线,
所以,整理可得
,
所以,即
,此时满足
,故
:
,
所以,直线PQ过定点.
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