Question

【题目】已知函数，．

（1）若直线与函数的图象相切，求实数的值；

（2）若存在，，使，且，求实数的取值范围；

（3）当时，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.

【解析】

（1）由f′（x0）．可得切线方程为：y＝（）x+lnx0，与直线y＝2x完全相同，可得＝2，lnx0＝0．即可得出a．

（2）设t（x）＝ex﹣x，x∈R．t′（x）＝ex﹣1，利用导数研究其单调性可得0是函数t（x）的极小值点，可得．再由g（x2）＝0，解得x2，可得x1的范围．从而问题可转化为函数f（x）＝lnx﹣ax+1在x∈（1，+∞）上有零点．由f′（x）a．对a分类讨论，研究其单调性即可得出．

（3）构造函数F（x）＝x2+g（x）﹣f（x），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

（1）设切点坐标为，

由，得，

所以切线方程为：，

即.

因为直线与函数的图象相切，

所以，解得.

（2）设，则，令，得，

且当时，：当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在时取得极小值为0，即.

由，可得，

所以即为，

由题意可得：函数在上有零点.

因为，

当时，，函数在上单调递增，

所以，函数在上无零点：

当时，令，得.

①若，即时，在上恒成立，

所以函数在上单调递减，

所以，函数在上无零点：

②若，即时，

当时，：当时，.

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，

因为，所以函数在上无零点：

又，

令，

则在上恒成立，

所以在上单调递增，

所以，即，

所以，且在的图象连续不断，

所以函数在上有且只有一个零点，

即函数在上有零点.

综上所述，.

（3）当时，，

令 ，

则，

令，则当时，，

所以函数在区间上是增函数，

又，，

所以函数存在唯一的零点，

且当时，；当时，.

所以当时，；当时，.

所以函数在上递减，在上递增，

故，

由得：，

两边取对数得：，故，

所以，即.