Question

【题目】设a＞1，函数f（x）=log2（x2+2x+a），x∈[﹣3，3]．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）的最大值为5，求f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a＞1时，知x2+2x+1＞0对任意的x∈[﹣3，3]，

令t（x）=x2+2x+a，x∈[﹣3，3]，

则y=log2t，

且t（x）=（x+1）2+a﹣1，x∈[﹣3，3]，

∴t（x）在[﹣3，﹣1]上为减函数，在（﹣1，3]为增函数，

∵y=log2t为增函数，

∴f（x）=log2（x2+2x+a）的两个单调区间为[﹣3，﹣1]，（﹣1，3]，

且f（x）在[﹣3，﹣1]为减函数，在（﹣1，3]为增函数

（2）解：由（1）的单调性知，f（x）在x=﹣1处取得最小值，在x=3取得最大值，

∴f（x）max=f（3）=log2（a+15）=5，

解得a=17，

∴f（x）min=f（﹣1）=log216=4

【解析】（1）令t（x）=x2+2x+a，x∈[﹣3，3]，根据复数函数的单调性法则即可求出f（x）的单调区间，（2）根据函数的单调性可知f（x）在x=﹣1处取得最小值，在x=3取取最大值，先求出a的值，即可求出答案．
【考点精析】关于本题考查的函数的最值及其几何意义，需要了解利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能得出正确答案．