Question

【题目】已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f(x)＝ex－ax－1的定义域为(0，＋∞)．
（1）设a＝e，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；
（2）判断函数f(x)的单调性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a＝e，∴f(x)＝ex－ex－1，f′(x)＝ex－e，f(1)＝－1，f′(1)＝0.∴当a＝e时，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－1.
（2）解：∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.
易知f′(x)＝ex－a在(0，＋∞)上单调递增．
∴当a≤1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>1时，由f′(x)＝ex－a＝0，得x＝lna，
∴当0<x<lna时，f′(x)<0，当x>lna时，f′(x)>0，
∴f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．
综上，当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>1时，f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．
【解析】(1)首先求出原函数的导函数，把点的坐标代入到导函数的解析式求出函数值即为原函数的切线的斜率，再由直线的点斜式求出方程即可。(2) 首先求出原函数的导函数，对a分情况讨论得出导函数在指定区间上的正负情况进而得出原函数的单调性即可。