题目内容
7．设函数f（x）=2xlnx-1．（1）求函数f（x）的最小值及曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若不等式f（x）≤3x3+2ax恒成立，求实数a的取值范围．
分析 （1）求出函数的导数，求得单调区间，可得极值、最值；求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程可得切线方程；
（2）由题意可得a≥lnx-$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2x}$，在（0，+∞）上恒成立，构造函数h（x）=lnx-$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2x}$，h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$=-$\frac{（x-1）（3x+1）}{2{x}^{2}}$，求解最大值，即可求解a的取值范围．
解答 解：（1）函数f（x）=2xlnx-1的导数为f′（x）=2（lnx+1），
当x＞$\frac{1}{e}$时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜$\frac{1}{e}$时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=$\frac{1}{e}$取得极小值，也为最小值，且为-$\frac{2}{e}$-1；
可得曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=2，
切点为（1，-1），曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=2（x-1），
即为2x-y-3=0；
（2）不等式f（x）≤3x3+2ax恒成立，
可得：a≥lnx-$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2x}$，在（0，+∞）上恒成立，
设h（x）=lnx-$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2x}$，h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$=-$\frac{（x-1）（3x+1）}{2{x}^{2}}$，
h′（x）=0，得：x=1，x=-$\frac{1}{3}$（舍去），
当0＜x＜1时，h′（x）＞0，
当x＞1时，h′（x）＜0，
∴当x=1时，h（x）max=-2，
∴a≥-2，
∴实数a的取值范围：[-2，+∞）．
点评 本题考查了利用导数在函数单调性中的应用，运用导数求解切线方程和函数最值，解决不等式恒成立问题，属于中档题．
