Question

17．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0，a，b，c∈R）．
（1）若f（1）=0，且f（x）在x=-1时有最小值-4，求f（x）的表达式；
（2）若a=1，且不等式f（c）-f（b）≤t（c²-b²）对任意满足条件4c≥b²+4的实数b，c恒成立，求常数t取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简函数的解析式，利用f（1）=0，且f（x）在x=-1时有最小值-4，求出a、b、c即可得到函数的解析式．
（2）若a=1，f（x）=x²+bx+c，利用f（c）-f（b）=（c+2b）（c-b），（c+2b）（c-b）≤t（c²-b²）对任意满足条件4c≥b²+4的实数b，c恒成立，通过当c=b=2时，当c=-b=2时，当b≠±2时，当b≤0，当b＞0（且b≠2）时，求解常数t的取值范围是$（\;\frac{3}{2}\;，\;+∞）$

解答 解：（1）依题意，f（1）=0，a+b+c=0，
f（x）在x=-1时有最小值-4，设f（x）=a（x+1）²-4，f（1）=4a-4=0，得a=1，
所以 f（x）的表达式是f（x）=x²+2x-3．（5分）
（2）若a=1，则f（x）=x²+bx+c，f（c）-f（b）=（c+2b）（c-b），（c+2b）（c-b）≤t（c²-b²）对任意满足条件4c≥b²+4的实数b，c恒成立，
当c=b=2时，显然成立，t∈R；当c=-b=2时，显然成立，t∈R；
当b≠±2时，${c^2}-{b^2}≥（1+\frac{b^2}{4}{）^2}-{b^2}=（1-\frac{b^2}{4}{）^2}＞0$，
所以$t≥\frac{（c+2b）（c-b）}{{{c^2}-{b^2}}}$，即$t≥\frac{c+2b}{c+b}=1+\frac{b}{c+b}$，
对任意满足条件4c≥b²+4的实数b，c恒成立，
由于$c+b≥1+\frac{b^2}{4}+b={（1+\frac{b}{2}）^2}＞0$，
当b≤0（且b≠-2）时，只需t≥1；
当b＞0（且b≠2）时，$\frac{b}{c+b}≤\frac{4b}{{4+{b^2}+4b}}≤\frac{4b}{4b+4b}=\frac{1}{2}$，
从而$t≥\frac{3}{2}$（当且仅当b=c=2时取等号，等号不成立），
此时$t＞\frac{3}{2}$．
所以，常数t的取值范围是$（\;\frac{3}{2}\;，\;+∞）$．（14分）

点评 本题考查函数与方程的应用，函数恒成立，二次函数的简单性质的应用，考查分类讨论以及计算能力．