Question

5．已知函数f（x）=ax+$\frac{b}{x}$+2-2a（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$＞$\frac{1}{2}$（2n+1）+$\frac{n}{2n+1}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）利用函数在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行，得到f'（1）=2，然后利用导数确定a，b满足的关系式．
（2）构造函数g（x）=f（x）-2lnx=ax+$\frac{a-2}{x}$+2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）．利用导数求函数的最值即可．
（3）取a=1得x-$\frac{1}{x}$≥2lnx，令x=$\frac{2n+1}{2n-1}$＞1，得$\frac{1}{2n-1}$＞$\frac{1}{2}$ln$\frac{2n+1}{2n-1}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得结论．

解答 （1）解：函数的导数为f′（x）=a-$\frac{b}{{x}^{2}}$，
因为f（x）=ax+$\frac{b}{x}$+2-2a（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行．
所以f'（1）=2，即f'（1）=a-b=2，所以b=a-2．
（2）解：因为b=a-2，所以f（x）=ax+$\frac{a-2}{x}$+2-2a，
若f（x）≥2lnx，则f（x）-2lnx≥0，
设g（x）=f（x）-2lnx=ax+$\frac{a-2}{x}$+2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）．
则g（1）=0，g′（x）=$\frac{a（x-1）（x-\frac{2-a}{a}）}{{x}^{2}}$，
①当0＜a＜1时，$\frac{2-a}{a}$＞1，若1＜x＜$\frac{2-a}{a}$，则g'（x）＜0，
此时g（x）在[1，+∞）上单调递减，所以g（x）＜g（1）=0，
即f（x）≥2lnx在[1，+∞）不恒成立．
②若a≥1，$\frac{2-a}{a}$≤1，当x＞1时，g'（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上单调递增，
又g（1）=0，所以此时f（x）≥2lnx．
综上所述，所求a的取值范围是[1，+∞）．
（3）证明：由（2）知当a≥1时，f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立．
取a=1得x-$\frac{1}{x}$≥2lnx
令x=$\frac{2n+1}{2n-1}$＞1，得$\frac{2n+1}{2n-1}$-$\frac{2n-1}{2n+1}$＞2ln$\frac{2n+1}{2n-1}$，
即$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$＞ln$\frac{2n+1}{2n-1}$，
所以$\frac{1}{2n-1}$＞$\frac{1}{2}$ln$\frac{2n+1}{2n-1}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$＞$\frac{1}{2}$（2n+1）+$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的性质，考查学生的运算能力．综合性较强．