题目内容
设递增等比数列{an}的前n项和为Sn,且a2=3,S3=13,数列{bn}满足b1=a1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上,n∈N*.
(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设cn=
,数列{cn}的前n项和Tn,若Tn>2a-1恒成立(n∈N*),求实数a的取值范围.
(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设cn=
bn |
an |
(Ⅰ)∵递增等比数列{an}的前n项和为Sn,且a2=3,S3=13,
∴
,
解得q=3或q=
,
∵数列{an}为递增等比数列,所以q=3,a1=1.
∴{an}是首项为1,公比为3的等比数列.
∴an=3n-1.…(3分)
∵点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上,
∴bn+1-bn=2.
∴数列{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
∴bn=1+(n-1)•2=2n-1.…(5分)
(Ⅱ)∵cn=
=
,
∴Tn=
+
+
+…+
.
Tn=
+
+
+…+
+
,…(7分)
两式相减得:
Tn=
+
+
+…+
-
=1+2×
-
=2-(
)n-1-
.…(8分)
所以Tn=3-
-
=3-
.…(9分)
∵Tn+1-Tn=3-
-3+
=
>0,…(10分)
∴Tn≥T1=1.
若Tn>2a-1恒成立,则1>2a-1,
解得a<1.
∴实数a的取值范围{a|a<1}.…(12分)
∴
|
解得q=3或q=
1 |
3 |
∵数列{an}为递增等比数列,所以q=3,a1=1.
∴{an}是首项为1,公比为3的等比数列.
∴an=3n-1.…(3分)
∵点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上,
∴bn+1-bn=2.
∴数列{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
∴bn=1+(n-1)•2=2n-1.…(5分)
(Ⅱ)∵cn=
bn |
an |
2n-1 |
3n-1 |
∴Tn=
1 |
30 |
3 |
31 |
5 |
32 |
2n-1 |
3n-1 |
1 |
3 |
1 |
3 |
3 |
32 |
5 |
33 |
2n-3 |
3n-1 |
2n-1 |
3n |
两式相减得:
2 |
3 |
1 |
3 |
2 |
3 |
2 |
32 |
2 |
3n-1 |
2n-1 |
3n |
=1+2×
| ||||
1-
|
2n-1 |
3n |
=2-(
1 |
3 |
2n-1 |
3n |
所以Tn=3-
1 |
2•3n-2 |
2n-1 |
2•3n-1 |
n+1 |
3n-1 |
∵Tn+1-Tn=3-
n+2 |
3n |
n+1 |
3n-1 |
2n+1 |
3n |
∴Tn≥T1=1.
若Tn>2a-1恒成立,则1>2a-1,
解得a<1.
∴实数a的取值范围{a|a<1}.…(12分)
练习册系列答案
相关题目