题目内容

设递增等比数列{an}的前n项和为Sn,且a2=3,S3=13,数列{bn}满足b1=a1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上,n∈N*
(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设cn=
bn
an
,数列{cn}的前n项和Tn,若Tn>2a-1恒成立(n∈N*),求实数a的取值范围.
(Ⅰ)∵递增等比数列{an}的前n项和为Sn,且a2=3,S3=13,
a2=3
S3=a1+a2+a3=13

解得q=3或q=
1
3

∵数列{an}为递增等比数列,所以q=3,a1=1.
∴{an}是首项为1,公比为3的等比数列.
an=3n-1.…(3分)
∵点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上,
∴bn+1-bn=2.
∴数列{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
∴bn=1+(n-1)•2=2n-1.…(5分)
(Ⅱ)∵cn=
bn
an
=
2n-1
3n-1

Tn=
1
30
+
3
31
+
5
32
+…+
2n-1
3n-1

1
3
Tn=
1
3
+
3
32
+
5
33
+…+
2n-3
3n-1
+
2n-1
3n
,…(7分)
两式相减得:
2
3
Tn=
1
3
+
2
3
+
2
32
+…+
2
3n-1
-
2n-1
3n

=1+2×
1
3
[1-(
1
3
)n-1]
1-
1
3
-
2n-1
3n

=2-(
1
3
n-1-
2n-1
3n
.…(8分)
所以Tn=3-
1
2•3n-2
-
2n-1
2•3n-1
=3-
n+1
3n-1
.…(9分)
Tn+1-Tn=3-
n+2
3n
-3+
n+1
3n-1
=
2n+1
3n
>0
,…(10分)
∴Tn≥T1=1.
若Tn>2a-1恒成立,则1>2a-1,
解得a<1.
∴实数a的取值范围{a|a<1}.…(12分)
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