题目内容

已知n∈N*,设Sn是单调递减的等比数列{an}的前n项和,a1=1,且S2+a2、S4+a4、S3+a3成等差数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)数列x∈(0,+∞)满足b1=2a1,bn+1bn+bn+1-bn=0,求数列f(x)max≤0的通项公式;
(Ⅲ)在满足(Ⅱ)的条件下,若cn=
ancos(nπ)
bn
,求数列{cn}的前n项和Tn
( I)设数列{an}的公比为q,由2(S4+a4)=S2+a2+S3+a3
得(S4-S2)+(S4-S3)+2a4=a2+a3,即4a4=a2
所以q2=
1
4

∵{an}是单调数列,
∴q=
1
2

∴an=(
1
2
)
n-1

( II)b1=2,∵bn+1bn+bn+1-bn=0,
∴1+
1
bn
-
1
bn+1
=0,即
1
bn+1
-
1
bn
=1,
即{
1
bn
}是以
1
2
为首项,1为公差的等差数列,
1
bn
=
1
2
+(n-1)×1=
2n-1
2
,即bn=
2
2n-1

( III)∵cn=
ancos(nπ)
bn
=
2n-1
2n
cos(nπ)=
2n-1
2n
•(-1)n=(2n-1)×(-
1
2
)
n

∴Tn=1×(-
1
2
)+3×(-
1
2
)
2
+5×(-
1
2
)
3
+…+(2n-1)×(-
1
2
)
n

-
1
2
Tn=1×(-
1
2
)
2
+3×(-
1
2
)
3
+…+(2n-3)×(-
1
2
)
n
+(2n-1)×(-
1
2
)
n+1

两式相减,得
3
2
Tn=1×(-
1
2
)+2[(-
1
2
)
2
+(-
1
2
)
3
+…+(-
1
2
)
n
-(2n-1)×(-
1
2
)
n+1
]
=
1
2
+2×
-
1
2
×[1-(-
1
2
)
n
]
1+
1
2
-(2n-1)×(-
1
2
)
n+1

=
1
2
-
2
3
[1-(-
1
2
)
n
]-(2n-1)×(-
1
2
)
n+1

=-
1
6
+(n+
1
6
)•(-
1
2
)
n

即Tn=-
1
9
+
1
9
(6n+1)(-
1
2
)
n
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