Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别为BD、BC的中点，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：△ABD中
∵AB=AD=

2

，O是BD中点，BD=2
∴AO⊥BD且AO=

AB2-BO2

=1
△BCD中，连结OC∵BC=DC=2
∴CO⊥BD且CO=

BC2-BO2

=

3

△AOC中AO=1，CO=

3

，AC=2
∴AO²+CO²=AC²故AO⊥CO
∴AO⊥平面BCD
（2）取AC中点F，连结OF、OE、EF
△ABC中E、F分别为BC、AC中点
∴EF∥AB，且EF=

1

2

AB=

2

2

△BCD中O、E分别为BD、BC中点
∴OE∥CD且OE=

1

2

CD=1
∴异面直线AB与CD所成角等于∠OEF（或其补角）
又OF是Rt△AOC斜边上的中线
∴OF=

1

2

AC=1
∴等腰△OEF中cos∠OEF=

1 2 EF

OE

=

2

4

．