题目内容
如图，已知平行六面体ABC-A1B1C1的底面为正方形，O1，O分别为上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影为O．
（1）求证：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若点E、F分别在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，问F在何处时，EF⊥AD？
（1）求证：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若点E、F分别在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，问F在何处时，EF⊥AD？
解．（1）∵平行六面体底面为正方形，∴A1A∥CC1，∴A1C1∥AC，
又O1，O分别为上下底面中心，∴A1O1∥CO，A1O1=CO，
∴四边形A1O1CO为平行四边形，∴CO1∥A1O．
A1在底面ABCD射影为O，∴A1O⊥平面AC，所以CO1⊥平面AC，
又CO1?平面O1DC，∴平面O1DC⊥平面ABCD．
（2）过E作AC垂线，垂足为G，则EG∥A1O，∴EG⊥平面AC，
若要EF⊥AD，即EF⊥BC，则需GF⊥BC，
∵底面ABCD为正方形，∴FG∥AB，
由A1E=
AE，则OG=
AG，∴
=
=
=
=
，
∴F为BC的三等分点，靠近B．
又O1，O分别为上下底面中心，∴A1O1∥CO，A1O1=CO，
∴四边形A1O1CO为平行四边形，∴CO1∥A1O．
A1在底面ABCD射影为O，∴A1O⊥平面AC，所以CO1⊥平面AC，
又CO1?平面O1DC，∴平面O1DC⊥平面ABCD．
（2）过E作AC垂线，垂足为G，则EG∥A1O，∴EG⊥平面AC，
若要EF⊥AD，即EF⊥BC，则需GF⊥BC，
∵底面ABCD为正方形，∴FG∥AB，
由A1E=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| GF |
| AB |
| CF |
| CB |
| CG |
| CA |
| 4 |
| 6 |
| 2 |
| 3 |
∴F为BC的三等分点，靠近B．
练习册系列答案
浙江名校名师金卷系列答案
相关题目
