题目内容

正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，BB1的中点．
（1）求证：平面A1BC1∥平面ACD1；
（2）求异面直线A1F与D1E所成的角的余弦值．
证明：（1）如图，
连结AC，AD1，CD1，A1C1，A1B，C1B．
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴AA1∥CC1，AA1=CC1，
∴四边形AA1C1C为平行四边形，∴A1C1∥AC．
A1C1?平面ACD1，AC?平面ACD1，∴A1C1∥平面ACD1；
∵A1D1∥BC，A1D1=BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥CD1．
A1B?平面ACD1，CD1?平面ACD1，∴A1B∥?平面ACD1，
又A1B∩A1C1=A1，
∴平面A1BC1∥平面ACD1；
（2）连结C1F，∵E，F分别是棱AA1，BB1的中点，∴EF∥C1D1，EF=C1D1
∴EFC1D1是平行四边形，∴D1F∥C1E．
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，解直角三角形求得A1C1=2
2
，A1F=C1F=
5
．
在△A1C1F中，由余弦定理得cos∠A1FC1=
A1F2+C1F2-A1C12
2A1F•C1F
=
(
5
)2+(
5
)2-(2
2
)2
2×
5
×
5
=
1
5
．
∴异面直线A1F与D1E所成的角的余弦值是
1
5
．
练习册系列答案
相关题目
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1，D，E，F分别为AB1，CC1，BC的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B1F⊥平面AEF．
已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
（1）证明：DN∥平面PMB；
（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求点A到平面PMB的距离．
若将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成一个直二面角，且EA⊥平面ABD，AE=a（如图）．
（Ⅰ）若a=2
2
，求证：AB∥平面CDE；
（Ⅱ）求实数a的值，使得二面角A-EC-D的大小为60°．
（文科做）已知平面α∥面β，AB、CD为异面线段，AB?α，CD?β，且AB=a，CD=b，AB与CD所成的角为θ，平面γ∥面α，且平面γ与AC、BC、BD、AD分别相交于点M、N、P、Q．
（1）若a=b，求截面四边形MNPQ的周长；
（2）求截面四边形MNPQ面积的最大值．
如图在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点．
求证：平面EFG∥平面AB1C．
直三棱柱ABC-A1B1C1的底面中，AB⊥AC，AB=AC=a，D为CC1的中点，
CC1
AC
=λ
（1）λ为何值时，A1D⊥平面ABD；
（2）当A1D⊥平面ABD时，求C1到平面ABD的距离；
（3）当二面角A-BD-C为60°时，求λ的值．
长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点．
（I）求证：直线AE⊥平面A1D1E；
（II）求三棱锥A-A1D1E的体积．
如图，四面体ABCD中，O、E分别为BD、BC的中点，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=
2
．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值．

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