题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量 =(﹣1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksinθ,t).
(1)若 ⊥
,且|
|=
|
|,求向量
;
(2)若向量 与向量
共线,常数k>0,求f(θ)=tsinθ的值域;
(3)当(2)问中f(θ)的最大值4时,求
.
【答案】
(1)解: ,∵
,
∴8﹣n+2t=0
又 ,∴(n﹣8)2+t2=5×64得t=±8,
∴ 或(﹣8,﹣8)
(2)解: ,
∵向量 与向量
共线,
∴t=﹣2ksinθ+16,f(θ)=tsinθ=(﹣2ksinθ+16)sinθ=
① ,∴
时,f(θ)=tsinθ取最大值为
,
sinθ=﹣1时,f(θ)取得最小值为﹣2k﹣16,
此时函数的值域为[﹣2k﹣16, ]
② ,
∴sinθ=1时,tsinθ取最大值为﹣2k+16,
sinθ=﹣1时,f(θ)取得最小值为﹣2k﹣16,
此时函数的值域为[﹣2k﹣16,﹣2k+16].
(3)解:①当k>4时,由 =4,得k=8,此时
,
,
∴
②当0<k<4时,由﹣2k+16=4,得k=6,(舍去)
综上所述,∴ =32
【解析】(1)利用向量垂直的坐标表示及向量模的坐标表示,列出关于n,t的方程组,并解即可.(2)向量 与向量
共线,得出f(θ)=tsinθ=(﹣2ksinθ+16)sinθ,利用配方法结合一元二次函数的最值性质进行求解.(3)根据(2)问中f(θ)的最大值4时,建立方程关系求出k或θ,求
即可.
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