Question

【题目】已知函数f（x）= x2﹣3x+（a﹣1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）﹣g（x）+3x．
（1）当a=5时，求函数f（x）的导函数f′（x）的最小值；
（2）当a=3时，求函数h（x）的单调区间及极值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=x+ ﹣3，其中x＞0．

因为a=5，又x＞0，所以 ，

当且仅当x=2时取等号，其最小值为1；

（2）解：当a=3时，h（x）= x2+2lnx﹣3x，

h′（x）=x+ ﹣3= ，

x，h′（x），h（x）的变化如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
h′（x）	+	0	﹣	0	+
h（x）	递增	﹣	递减	2ln2﹣4	递增

函数h（x）在x=1处取得极大值﹣ ，在x=2处取得极小值2ln2﹣4

【解析】（1）求出函数的导数，根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可；（2）求出h（x）的导数，得到h（x）的单调区间，求出函数的极值即可．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．