题目内容
【题目】已知函数f(x)= (a、b为常数),且f(1)= ,f(0)=0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在定义域上的奇偶性,并证明;
(3)对于任意的x∈[0,2],f(x)(2x+1)<m4x恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:由已知可得 , ,
解得a=1,b=﹣1,
所以 ;
(2)函数f(x)为奇函数.
证明如下:f(x)的定义域为R,
∵ ,
∴函数f(x)为奇函数;
(3)解:∵ ,∴ ,
∴2x﹣1<m4x
∴ =g(x),
故对于任意的x∈[0,2],f(x)(2x+1)<m4x恒成立等价于m>g(x)max
令 ,则y=t﹣t2 ,
则当 时
故 ,
即m的取值范围为 .
【解析】(1)运用代入法,得到a,b的方程,解得a,b,可得f(x)的解析式;(2)函数f(x)为奇函数.运用奇函数的定义,即可得证;(3)f(x)(2x+1)<m4x恒成立,即为2x﹣1<m4x , 运用参数分离和换元法,结合指数函数和二次函数的值域,可得右边的最大值,即可得到m的范围.
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