Question

【题目】[选修4-5：不等式选讲]
已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|
（1）求不等式f（x）＜6的解集；
（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．

Answer 1

【答案】
（1）解：①x≥2时，f（x）=2x﹣4+x+1=3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，

②﹣1＜x＜2时，f（x）=4﹣2x+x+1=5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x＜2，

③x≤﹣1时，f（x）=4﹣2x﹣1﹣x=3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知无解，

综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；

（2）证明：∵f（x）=2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）=3，

∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p为正实数

∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，

∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，

∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，

∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）

又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．

故证毕．

【解析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；（2）由基本不等式，可以解得m2+n2+p2≥mn+mp+np，将条件平方可得（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，代入m2+n2+p2≥mn+mp+np，即可证得要求证得式子．
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．