题目内容
【题目】已知函数f(x)=.
(I)求f(x)在区间[1,a](a>1)上的最小值;
(II)若关于x的不等式f2(x)+mf(x)>0只有两个整数解,求实数m的取值范围.
【答案】.(1)当1<a≤2时,f(x)的最小值为f(1)=ln2;当a>2,f(x)的最小值为f(a)=;(2)(-ln2,-
ln6]
【解析】试题分析:(1)求出,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;利用函数的单调性求出极值,与区间端点值的函数值比较大小可得结果;(2)
时,整数解有无数多个,不合题意
时,整数解有无数多个,不合题意;
时,不等式
有两整数解,则
.
试题解析:(1)f '(x)=,令f '(x)>0得f(x)的递增区间为(0,
);
令f '(x)<0得f(x)的递减区间为(,+
),
∵x∈[l,a],则当1<a≤时,f(x)在[1,a]上为增函数,f(x)的最小值为
f(1)=ln2; . . . . . . . . . . . 3分
当a>时,f(x)在[1,
)上为增函数,在(
,a]上为减函数,f(2)=
=ln2=f(1),
∴若<a≤2,f(x)的最小值为f(1)=ln2,
若a>2,f(x)的最小值为f(a)=,
综上,当1<a≤2时,f(x)的最小值为f(1)=ln2;
当a>2,f(x)的最小值为f(a)=.
(2)由(1)知,f(x)的递增区间为(0, ),递减区间为(
,+∞),且在(
,+
)上ln2x>lne=1>0,又x>0,则f(x)>0. 又f(
)=0.
∴m>0时,由不等式f2(x)+mf(x)>0得f(x)>0或f(x)<-m,而f(x)>0解集为(,+
),整数解有无数多个,不合题意;
m=0时,由不等式f2(x)+mf(x)>0得f(x)≠0,解集为(0, )
(
,+∞),整数解有无数多个,不合题意; . . . . . 10分
m<0时,由不等式f2(x)+mf(x)>0得f(x)>-m或f(x)<0,∵f(x)<0解集为(0, )无整数解,若不等式f2(x)+mf(x)>0有两整数解,则f(3)≤-m<f(1)=f(2),
∴-ln2<m≤-ln6
综上,实数m的取值范围是(-ln2,-ln6]
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