题目内容
8.若x>y>0,求x2+$\frac{1}{(x-y)y}$的最小值4.分析 由题意可得x-y>0,可得x2+$\frac{1}{(x-y)y}$=(x-y+y)2+$\frac{1}{(x-y)y}$=(x-y)2+y2+2(x-y)y+$\frac{1}{(x-y)y}$,两次利用基本不等式可得.
解答 解:∵x>y>0,∴x-y>0,
∴x2+$\frac{1}{(x-y)y}$=(x-y+y)2+$\frac{1}{(x-y)y}$
=(x-y)2+y2+2(x-y)y+$\frac{1}{(x-y)y}$
≥2(x-y)y+2(x-y)y+$\frac{1}{(x-y)y}$
=4(x-y)y+$\frac{1}{(x-y)y}$
≥2$\sqrt{4(x-y)y•\frac{1}{(x-y)y}}$=4
当且仅当x-y=y且4(x-y)y=$\frac{1}{(x-y)y}$即x=$\sqrt{2}$且y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号,
故答案为:4
点评 本题考查基本不等式求最值,凑出可以基本不等式的形式是解决问题的关键和难点,属中档题.
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