Question

20．已知x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，计算：$\frac{{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}+2}{{x}^{2}+{x}^{-2}+3}$．

Answer 1

分析 x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，可得x+x^-1=$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2，x²+x^-2=（x+x^-1）²-2．代入即可得出．

解答 解：∵x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，∴x+x^-1=$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2=3²-2=7，
∴x²+x^-2=（x+x^-1）²-2=7²-2=47．
∴$\frac{{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}+2}{{x}^{2}+{x}^{-2}+3}$=$\frac{3+2}{47+3}$=$\frac{1}{10}$．

点评 本题考查了公式的变形，考查了计算能力，属于中档题．