Question

16．数列{a_n}满足a_n+1=a_n²-2，a₁=3，求a_n．

Answer 1

分析 利用3=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$+$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，写出前几项的表达式，猜想a_n=（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）^2（n-1）+（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）^2（n-1），并用数学归纳法证明即可．

解答 解：∵a₁=3，
∴a₁=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$+$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∵a_n+1=a_n²-2，
∴a₂=${{a}_{1}}^{2}$-2
=（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$+$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）²-2
=（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）²+（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）²，
∴a₃=${{a}_{2}}^{2}$-2
=[（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）²+（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）²]²-2
=（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）⁴+（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）⁴，
猜想：a_n=（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）^2（n-1）+（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）^2（n-1）．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时显然成立；
②假设当n=k时，有a_k=（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）^2（k-1）+（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）^2（k-1），
则a_k+1=${{a}_{k}}^{2}$-2
=[（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）^2（k-1）+（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）^2（k-1）]²-2
=（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）^2（k+1-1）+（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）^2（k+1-1），
即当n=k+1时，结论也成立；
由①、②可知a_n=（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）^2（n-1）+（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）^2（n-1），
∴数列{a_n}的通项公式a_n=（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）^2（n-1）+（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）^2（n-1）．

点评 本题考查数列的通项，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于难题．