Question

13．下列命题：
①已知△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，B是△ABC中最大角，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0，则△ABC为钝角三角形；
②若sinA=$\frac{4}{5}$，则$\frac{5sinA+8}{15cosA-7}$=6；
③若sinα=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}，sinβ=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$且α、β为锐角，则α+β=$\frac{π}{4}$；
④已知数列{a_n}的前n项和S_n=aqⁿ（a≠0，q≠1，q为非零常数），则数列{a_n}为等比数列．
⑤函数y=$\frac{1}{x-1}$的图象与函数y=2sinπx（-1≤x≤3）的图象所有交点的横坐标之和等于4．
其中正确的命题序号③⑤．（注：把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

分析 ①利用向量的数量积可判断出cosB＞0，而B是△ABC中最大角，从而可知△ABC为锐角三角形；
②依题意，可求得cosA=±$\frac{3}{5}$，将其代入$\frac{5sinA+8}{15cosA-7}$计算即可判断②；
③利用同角三角函数间的关系及两角和的余弦可判断③；
④令q=-1，可求得a₁、a₂、a₃，从而可判断④．
⑤${y}_{1}=\frac{1}{1-x}$的图象由奇函数$\frac{-1}{x}$的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y₂=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．

解答 解：①△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos（π-B）＜0，
∴cosB＞0，又B是△ABC中最大角，
∴△ABC为锐角三角形，故①错误；
②∵sinA=$\frac{4}{5}$，∴cosA=±$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=±$\frac{3}{5}$，
当cosA=$\frac{3}{5}$时，$\frac{5sinA+8}{15cosA-7}$=$\frac{5×\frac{4}{5}+8}{15×\frac{3}{5}-7}$=6；
当cosA=-$\frac{3}{5}$时，$\frac{5sinA+8}{15cosA-7}$=$\frac{5×\frac{4}{5}+8}{15×（-\frac{3}{5}）-7}$=-$\frac{3}{4}$≠6，故②错误；
③∵sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$且α、β为锐角，
∴cosα=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，同理可得cosβ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{3\sqrt{10}}{10}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$•$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴α+β=$\frac{π}{4}$，故③正确；
④令q=-1，则a₁=-a，a₂=S₂-S₁=a-（-a）=2a，a₃=S₃-S₂=-a-a=-2a，显然a₁、a₂、a₃不能构成等比数列，故④错误；
⑤解：函数${y}_{1}=\frac{1}{1-x}$，y₂=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图
当1＜x≤4时，y₁＜0
而函数y₂在（1，4）上出现1.5个周期的图象，
在（$1，\frac{3}{2}$）和（$\frac{5}{2}，\frac{7}{2}$）上是减函数；
在$（\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$和$（\frac{7}{2}，4）$上是增函数．
∴函数y₁在（1，4）上函数值为负数，且与y₂的图象有四个交点E、F、G、H
相应地，y₁在（-2，1）上函数值为正数，且与y₂的图象有四个交点A、B、C、D
且：x_A+x_H=x_B+x_G═x_C+x_F=x_D+x_E=2，故所求的横坐标之和为8．
故选D
综上所述，正确的命题序号为：③⑤，

点评 本题考查命题的真假判断与应用，综合考查向量的数量积的应用，考查同角三角函数间的关系及两角和的余弦，考查等比关系的确定，属于中档题．