题目内容
（本小题满分14分）、
已知函数
．
（Ⅰ）求证：存在定点
，使得函数
图象上任意一点
关于点对称的点
也在函数的图象上，并求出点的坐标；
（Ⅱ）定义
，其中
且
，求
；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的
，求证：对于任意都有
．
已知函数
．（Ⅰ）求证：存在定点
，使得函数图象上任意一点关于点对称的点也在函数的图象上，并求出点的坐标；（Ⅱ）定义
，其中且，求；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的
，求证：对于任意都有．．解：（Ⅰ）显然函数定义域为（0，1）. 设点M的坐标为（a, b），
则由
对于
恒成立，于是
解得
所以存在定点
，使得函数f(x)的图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f(x)的图象上. 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
∵
……①
∴
②
①+②，得
，∴
，故
8分
（Ⅲ）当
时，由（Ⅱ）知
，
于是等价于
0分
令
，则
，
∴当
时，
，即函数
在
上单调递增，又g(0)=0.
于是，当
时，恒有
，即
恒成立. …12分
故当时，有
成立，取
，
则有
成立. 14分
则由
对于
恒成立，于是解得 所以存在定点
，使得函数f(x)的图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f(x)的图象上. 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得
∵
……①∴
②①+②，得
，∴，故 8分（Ⅲ）当
时，由（Ⅱ）知，于是
等价于 0分令
，则，∴当
时，，即函数在上单调递增，又g(0)=0.于是，当
时，恒有，即恒成立. …12分故当
时，有成立，取，则有
成立. 14分略
练习册系列答案
相关题目
在
处的切线垂直于直线
，则
B 
C 
D
.
的单调性；
的实数解的个数，并加以证明.
.
对任意的
都成立（其中e是自然对数的底数），求a的最大值。
是
上最小正周期为2的周期函数，且当
时,
,则函数
的图象在区间[0,6]上与
轴的交点的个数为（ ）
，求函数
的单调区间；
上单调递增，求实数
的取值范围
，若
的最小值是
，求函数
的图象经过点
，且在
处的切线方程是
的解析式；
、
为椭圆
和双曲线
的公共顶点，
、
分别为双曲线和椭圆上不同于
.设
、
、
、
的斜率分别为
、
、
、
.
；
的值；
、
分别为双曲线和椭圆的右焦点，若
，求
的值.
的图像与
轴围成的封闭图形的面积为
，则
的展开式中的常数项为（ ）
