Question

【题目】如图1，直角梯形中，，，E、F分别是和上的点，且，，，沿将四边形折起，如图2，使与所成的角为60°.

（1）求证：平面；

（2）M为上的点，，若二面角的余弦值为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）由平面图形，可证得线面平行，从而得面面平行，然后可得证线面平行；

（2）先证得平面平面，然后作于点O，则平面，以O为原点，平行于的直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，由法向量夹角的余弦的绝对值等于二面角余弦值，可求得．

（1）证明：在图1中，，，又，所以是矩形，

所以在图2中，，又平面，所以平面，

因为，又平面，所以平面，

又因为，所以平面平面，

而平面，所以平面.

（2）解：因为，所以是与所成的角，所以，

∵，，∴平面，故平面平面，作于点O，则平面，，，，

以O为原点，平行于的直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，.

，，，，

设平面的法向量为，

则，取，得.

平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，

所以，

平方整理得，因为，所以.