题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形， 
， 
， 
， 
与
均为等边三角形，点
为
的中点.
（1）证明：平面
平面
；
（2）试问在线段
上是否存在点
，使二面角
的余弦值为
，若存在，请确定点
的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析（2）点
为
的中点
【解析】试题分析：（1）连接
，根据题设条件可证四边形
为正方形，即可得
，设
与
相交于点
，根据△
与△
均为等边三角形可证
，即可证
，从而证明平面
平面
；（2）由题设条件及（1）可知，建立以点
为坐标原点， 
为
轴， 
为
轴， 
为
轴建立空间直角坐标系，分别求出平面
和平面
的一个法向量，结合二面角
的余弦值为
，即可求出点
的位置.
试题解析：（1）证明：连接
，由于
∥
，点
为
的中点， 
， 
∴四边形
为正方形，可得
设
与
相交于点
又∵△
与△
均为等边三角形
∴
在等腰△
中，点
为
的中点
∴
，且
与
相交于点
，可得
平面
又∵
平面
∴平面
平面
．
（2）由
，△
与△
均为等边三角形，四边形
为正方形， 
与
相交于点
，可知
， 
，所以
，又平面
平面
，所以
平面
，以点
为坐标原点， 
为
轴， 
为
轴， 
为
轴建立空间直角坐标系．
可得
， 
， 
， 
设点
的坐标为
， 
，由
， 
，可得
，故 
， 
设
为平面
的一个法向量，则
，得
，平面
的一个法向量为
，
由已知
，解得
所以，在线段
上存在点
，使二面角
的余弦值为
，且点
为
的中点．
【题目】某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额如下表：
商店名称 | A | B | C | D | E |
销售额x/千万元 | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
利润额y/百万元 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
（1）画出散点图，观察散点图，说明两个变量是否线性相关；
（2）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的线性回归方程；
（3）当销售额为4千万元时，估计利润额的大小.
（参考公式：
，
）
【题目】某车间的一台机床生产出一批零件，现从中抽取8件，将其编为
， 
，…， 
，测量其长度（单位： 
），得到下表中数据：
编号 |
|
|
|
|
|
|
|
|
长度 | 1.49 | 1.46 | 1.51 | 1.51 | 1.53 | 1.51 | 1.47 | 1.51 |
其中长度在区间
内的零件为一等品.
（1）从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
（2）从一等品零件中，随机抽取2个.
①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2个零件长度相等的概率.
