题目内容
【题目】设抛物线的焦点为
,准线为
,
为抛物线
过焦点
的弦,已知以
为直径的圆与
相切于点
.
(1)求的值及圆的方程;
(2)设为
上任意一点,过点
作
的切线,切点为
,证明:
.
【答案】(1)2,;(2)证明见解析.
【解析】
(1)由题意得的方程为
,根据
为抛物线
过焦点
的弦,以
为直径的圆与
相切于点
..利用抛物线和圆的对称性,可得
,圆心为
,半径为2.
(2)设,
的方程为
,代入
的方程,得
,根据直线与抛物线相切,令
,得
,代入
,解得
.将
代入
的方程,得
,得到点N的坐标为
,然后求解
.
(1)解:由题意得的方程为
,
所以,解得
.
又由抛物线和圆的对称性可知,所求圆的圆心为,半径为2.
所以圆的方程为.
(2)证明:易知直线的斜率存在且不为0,
设,
的方程为
,代入
的方程,
得.
令,得
,
所以,解得
.
将代入
的方程,得
,即点N的坐标为
,
所以,
,
故.
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