题目内容
【题目】已知函数的图象在
处的切线方程为
.
(1)讨论函数的单调性.
(2)是否存在正实数,使得函数
的定义域为
时,值域也为
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)存在;
【解析】
(1)先对函数进行求导,根据已知条件在
处的切线方程为
可求出
,
,即得到
,再对
进行求导,对参数
进行讨论即可.
(2)先假设存在符合题意的正实数,再对
进行求导,可得到它的单调性以及单调区间,从而可求得
的最小值大于或等于零即可.
解:(1)∵,∴
.
又∵,∴
,∴
.
∴,∴
.
当时,
,
在
上单调递减;
当时,令
,得
.
令,得
,
故在
上单调递增,在
上单调递减.
(2)假设存在符合题意的正实数,
由,得
.
∵在
上单调递增,
在
上单调递减,
∴函数在
上单调递增.
∵,且当
时,
,
∴存在唯一的实数,使得
,即
①,
∴当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增.
∴.
由,得
,
∴
.
当且仅当时取等号,由
,得
,此时
,
把,
代入①也成立.
故存在正实数,使得
定义域为
时,值域也为
.
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